polis filminde bahsi geçen tırt paradoks. orada kurşunlu versiyonu geçiyordu.
yıllar önce arkadaşım bana bunu şu şekilde anlatmıştı:
-abi mesela istanbuldan boluya gitmek istiyorsun. oraya varabilmek için önce yolun yarısını almak zorundasın. sonra önünde kalan yolun yarısını, onu da alınca yine önünde kalan yolun yarısını.. ve sen sürekli önünde kalan yolun yarısıı almak zorunda olduğun için ve önünde sürekli bir kalan yol olacağı için (ki 1 milim kalmış olsa bile) bolu'ya asla varamazsın. yaaa yaaa...
oldukça etkileyici bir paradoks sunduğunu zannediyordu. cevap verdim.
+çok basit. ankaraya gidecekmiş gibi yaparım. ve oraya giderken herhangi bir "yolun yarısı" kısmında boludan geçeceğim için boluya varmış olurum". yani hedefimi yüksek tutarsam elbet daha küçük hedeflere daha kolay ulaşırım. işte hayrullah, hayat böyledir. sen hedeflerini her zaman yüksek tutmalısın ki bik bik bik.. yaaa yaaa.
zenon'un, dokuz bakır para adıyla bilinen dil oyunu vardır ki, sanırsam en bilineni de bu paradokstur. muzipçe biruslamlamadır, paraları ve parayı bulanların sayısını değiştiren türlü yorumları vardır.
şöyle ki;
salı günü, x tenha bir yoldan geçerken dokuz bakır para düşürür. perşembe günü, y yolda çarşamba günkü yağmurdan biraz paslanmış dört para bulur. cuma günü, z yolda üç para bulur. cuma sabahı, x evinin holünde iki para bulur.
şimdi, bu hikayede yeniden ele geçirilen dokuz paranın reel ardışıklılığını çıkartalım.
paraların dördünün salı ve perşembe günleri, üçünün salı ve cuma akşamüstü, ikisinin de salı ve cuma sabahı arası varolmadığını düşünmek manasızdır diyebiliriz. mantık içerisinde değerlendirildiğinde, hepsinin bu üç safhanın her bir anında varolduklarını- en azından insan aklının alamayacağı esrarengiz bir biçimde- olmuş sayarak, paradoksu tamamlarız.
evet değerli arkadaşlar, bir paradoks dersimiz daha burda bitti. sıradaki paradoksun açımlamasını acar sözlük yazarımız recai pengül'e aktarıyoruz. *
önümüzde bir buğday yığını var.bu yığından bir adet buğday alınınca kalanlar bir yığın mıdır? ya da tam tersi bir buğday bir yığın ifade eder mi?
ilki için evet ikincisi için yanıt hayırdır. ama sen son buğdayı da aldığın zaman ortada hiç birşey olmaz bu nedenle hiç buğday olmaması yine yığın ifade etmektedir. ikincisi için de bir buğday tanesi yığın belirtmiyorsa btün buğdaylar oraya konulunca yine bir yığın ifade etmez.
zeno'nun 1. paradoksu (dichotomy): bir nesnenin d yolunu alabilmesi için önce o yolun d/2 sini gitmesi gerekir. ancak d/2 sini gitmeden önce d/4 ünü gitmesi gerekir. d/4 ünü gitmeden önce d/8 ini gitmesi gerekir vs. bu dizi sonsuza kadar uzatılabilir. öyleyse bir yolun tamamını gitmek sonsuz sayıda hamle ile mümkündür. o halde d uzunluğunda bir yol gidilemez.
bu paradoksun fiziksel çözümü quantum fiziğinin belirsizlik ilkesini beklemek zorunda kalmıştır. bir uzunluktan sonra, yarı yollardaki belirsizlik ihmal edilemeyecek kadar büyük olacaktır. yarı yolun fiziksel bir anlamı olmayacaktır.
matematiksel çözümü cebiri ve gibi sonsuz geometrik serilerin yakınsadığının kanıtlanmasını beklemiştir. gittikçe kısalan yarı yolları almak için geçen zaman da git gide kısalmaktadır ve bunlar birbirini telafi eder.
zeno'nun 2. paradoksu (achilles ve kaplumbağa paradoksu): kaplumbağa yarışa d1 kadar önden başlamış olsun. aşil'in ona yetişebilmesi için önce d1 yolunu almış olması gerekir, ancak bu sırada kaplumbağa d2 kadar ilerlemiş olur. aşil önce bu d2 yolunu almalıdır, ancak kaplumbağa d3 kadar uzaklaşmış olacaktır. bu böylece devam ederse aşil'in kaplumbağaya asla yetişemeyeceği anlaşılır. ancak aşil kaplumbağaya yetişir ve onu geçer. bu bir paradoks.(bu paradoksun çözümü de yukarıdaki gibidir.)
zeno'nun 3. paradoksu (ok paradoksu): uçuş halindeki bir ok herhangi bir anda anlık olarak durgun bir konumdadır. ancak tam o anda aynı konumdaki hareketsiz sabit bir oktan ayırt edilemez, öyleyse okun hareketi nasıl algılanıyor?
(bkz: çünkü eşşeğin zükünden dolayı)
zeno'nun 4. paradoksu (stade paradoksu): bu paradox zaman ve mekanın belli bir miktar bölünebileceği kabulünden doğar. (gönderen: çağla şahin) hareket hakkındaki paradokslarından en çelişkili, en zor tariflenebilir olanı evre ikilemidir. bunu şu biçimde açıklayabiliriz: a1, a2, a3 ve a4 eşit boyutlarda ve hareketsiz duran cisimler olsun. b1, b2, b3 ve b4 ün de a’ larla aynı büyüklükte ama soldan sağa doğru hareket eden cisimler olduğunu, dolayısıyla her b’ nin aynı anda – ancak zamanın ölçülebilen en kısa süresinde – bir a’ yı geçtiğini varsayalım. bu arada a’ lar ve b’ lerle aynı büyüklükte olan c1, c2,c3 ve c4 de aynı hızlı ama düzgün doğrusal hareketi sağdan sola doğru yapıp a’ ların önünden geçsin. belli bir evrede bu cisimlerin birbirlerine göre şöyle bir konumda olduklarını varsayalım:
a1 a2 a3 a4
b1 b2 b3 b4
c1 c2 c3 c4
bölünemeyecek denli kısa bir an sonra cisimlerin birbirlerine göre konumu şöyle olacaktır:
a1 a2 a3 a4
b1 b2 b3 b4
c1 c2 c3 c4
c1 in iki adet b nin önünden geçtiği gayet açıktır. o zaman hareketin gerçekleştiği zaman diliminin bir b nin önünden geçilen süre kadar daha bölünebileceğini de kabul etmemiz gerekir. ahanda paradoks.
bu paradokslar sayesinde matematik "limit" nanesiyle tanışmış, tabiri caizse gerçekten uzak bir şekilde matematik limitle gerçeği ispatlamış, ve çağ atlamıştır.
zor bir cümle oldu. yazması okumasından daha zordu inanın. ama açıklayalım:
"bir yerden bir yere giderken önce o yolun yarısını, sonra kalanın yarısını, sonra kalanın yarısını.... gidersiniz. hep yolun yarısı önünüzdedir, ve asla varacağınız yere varamazsınız" diyor zenon. bu, mantıklı geliyor, ama gerçekte biz a noktasından b noktasına gidilebildiğini biliyoruz.
şu denklemin solunu zenoni sağını da gerçek hayat yazmış:
d/2 + d/4 + d/8 + d/16 + .. d/2^sonsuz = d (nihayetinde illa ki varılır gidilecek yere.
bu denklem limit konusunun en basit, en klasik denklemidir. çözülmesi ne yazık ki 2000 yıl kadar almıştır. ikinci problem de klasik bir limit denklemine yol açıyor.
3.'sü neyse de 4. paradoks iyiden iyiye karışık, ben de anlamıyorum.
