|
|
- bir f fonksiyonu 1. mertebeden kısmi türevlere sahip ve k'ıncı dereceden bir homojen fonksiyon ise
i=1'den n'e kadar xi*fi(x1,x2,...,xn)=k*f(x1,x2,...xn)dir.
burada x1,x2... değişkenleri; "fi"ler de f'in i'inci değişkene göre kısmi türevlerini göstermektedir.
- ünlü matematikçi leonhard euler'in bilime en büyük katkılarından biridir. öyle ki bu matematikçi pi'nin ve e'nin simgeselleşmesini sağlamıştır.
formül taylor serisinin bir sonucudur.
taylor formülü her merteben türevli bir f[x] fonksiyonunun "a" noktası etrafında taylor serisine açılımı olarak adlandırılır.
sırasıyla e^x, sin[x] ve cos[x] fonksiyonlarını "0" noktası çevresinde taylor serisine açarsanız şunları elde edersiniz:
e^x = 1 + x/1! + x^2/2! + x^3/3! + ...
sin[x] = x/1! - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...
cos[x] = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + x^8/8! - ...
bunları elde ettikten sonra e^x fonksiyonunda "x" yerine "iy" yazılırsa;
e^iy = 1 + iy - y^2/2! - iy^3/3! + y^4/4! + iy^5/5! - y^6/6! - iy^7/7! + y^8/8! + ... olur. burada "i" katsayısına sahip olanlar "i" parantezine alınır ve diğerleri de ayrı bir parantez içerisinde toplanırsa:
e^iy = [1 - y^2/2! + y^4/4! - y^6/6! + y^8/8! ...] + i[y - y^y/3! + y^5/5! - y^7/7! + ...]
elde edilir. burada birinci parantez içerisi cos[y]'ye, ikinci parantez içerisi ise sin[y]'ye karşılık gelmektedir. görünen o ki;
e^iy = cos[y] + i sin[y] 'dir. bu euler formülü'nün genel çözümüdür. özel çözümlerinden biri olan;
y = pi için;
cos[pi] = -1
sin[pi] =0'dır. bu değerler yerlerine yazıldığında
e^i.pi = -1 elde edilir. fakat eğer matematikçiyseniz bu elde edilen denklemdeki "-1"i karşı tarafa atarak denklemin sağ tarafını "0" etme hissi duyarsınız. bunu sonucunda ele geçen yeni denklem müthiştir:
e^i.pi + 1 = 0.
bu denkelemi müthiş yapan şey şudur: matematikte 3 önemli işlem ve 5 önemli sayı vardır. işlemler toplama, çarpma, üs alma, sayılar ise 0, 1, i, pi, e'dir. ve bu son elde edilen denklemde bu üç işlem ile bu sayıların hepsi vardır. bu denklem bunu anlatır.
pozitif bir sayının üssünün negatif olma konusuna gelir isek bu konu şöyle açıklanır: dikkat ederseniz üzeri ifadesinde kullanılan sayılardan pi bilinen pi sayısı olup, bir çemberin çapına olan oranına eşittir ve sayısal olarak 3,1415... gibi sonsuza kadar giden basamak sayısına sahip pozitif bir sabit sayıdır. burada sorun yoktur. fakat üste bulunan ikinci sayı pek de normal bir sayı değildir: i. burada "i" karesi -1 olan sayıyı gösterir ve bu pek de mantıklı gelmemektedir. fakat x^2 = -1 denkleminin çözümü için gerekli olan bu anormal(!) sayıyı üs olarak koyduğumuz zaman sonucun anlaşılmaz olduğunu düşünmek, karesi -1 olan sayının var olduğunu kabul ettikten sonra abes kaçar. demem o ki orada bilindik reel sayılarla matematiksel işlemler yapılmadığı için bilindik kuralların daima geçerli olması da söz konusu olamaz.
- euler's identity olarak da anılan bir matematik başyapıtı. birbirlerinden farklı zamanlarda bağımsız kişiler tarafından bulunmuş en önemli 3 matematiksel sabiti(e,i,pi) ve ilk uygarlıklardan beri kullanılan 0 ve 1'i aynı potada eritebilmeyi başarmış acayip bir formül. ayrıca matematiğin bir keşif olduğunun kanıtlarından biridir çünkü içeriği yaklaşık 5000 yıllık olan bir formülün bir insan beyni tarafından hiçbir fire vermeden böyle bir araya getirilmesi pek akla yatkın değil.
- dinamikteki versiyonu özdeğer problemine güzel bir örnektir. "dönme hareketi yapan rijit cisim üzerinde hareketsiz kalan noktalar vardır" der özetle. hareket etmeyen noktalar dediği dönme ekseni yani. teorem daha kısa bir şekilde "dönen bir cismin dönme ekseni vardır" olarak da ifade edilebilir. matematikte döndürmek demek bir matrisle çarpmak demektir. bir matrisle çarpıldığı halde (yani döndürüldüğü halde) bir noktanın konumu değişmiyorsa eksen üzerindeki bu noktaya ait konum vektörü bir özdeğer vektördür demektir. konum aynı olduğuna göre matrisin özdeğeri de birdir. eksen üzerindeki noktanın konum vektörünü matrisle de çarpsan (dönme hareketinden sonra) birle de çarpsan (dönme hareketinden önce) değeri değişmez.
(nikmikyok, 28.07.2009 14:51 ~ 29.07.2009 03:40)
- (bkz: e)
(bkz: i)
(bkz: pi)
(bkz: 0)
(bkz: 1)
muhtemel all star ilk beşi
|
